RING

ring

Ring adalah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner +  (penjumlahan) dan  (perkalian) yang memenuhi:

  1. (R, +) merupakan grup komutatif (abelian) dengan identitas 0, yaitu:
    1. untuk setiap a, b Î R, a + b Î R; sifat tertutup terhadap penjumlahan
    2. (a + b) + c = a + (b + c); sifat asosiatif
    3. 0 + a = a + 0 = a; sifat identitas
    4. untuk setiap a Î R, terdapat −a, sedemikian hingga a + (−a) = (−a) + a = 0; sifat invers
    5. a + b = b + a; sifat komutatif
  1. (R, ) merupakan semigrup, yaitu:
    1. untuk setiap a, b Î R, ab Î R; sifat tertutup terhadap perkalian
    2. (ab)c = a(bc); sifat asosiatif
  1. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu
    1. a(b + c) = (ab) + (ac)

b.   (a + b) c = (ac) + (bc)

Gelanggang yang memenuhi sifat ab = bc disebut gelanggang komutatif.

Contoh gelanggang komutatif adalah gelanggang bilangan bulat.

Tidak semua gelanggang merupakan gelanggang komutatif, contohnya Mn(R), yaitu gelanggang matriks berukuran  atas bilangan real R.

Gelanggang (R, +, ) yang mempunyai elemen kesatuan u, yaitu ” a Î R, berlaku au = ua = a disebut gelanggang  dengan elemen kesatuan.

Gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan dan setiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai invers perkalian disebut medan/lapangan (field).

Gelanggang  dengan elemen kesatuan dan setiap elemen yang bukan elemen nol memiliki invers perkalian disebut gelanggang pembagian ( division ring/ skew field ) atau medan/lapangan miring. Jadi gelanggang pembagian yang komutatif adalah suatu medan.

Contoh 1

(B, +, ´), (Q, +, ´), (R, +, ´), dan (K, +, ´) adalah contoh-contoh gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan 1. Dapat diperiksa bahwa himpunan-himpunan tersebut dengan operasi penjumlahan merupakan grup abelian, himpunan-himpunan tersebut dengan operasi perkalian merupakan semigrup dan memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, serta bersifat komutatif terhadap operasi perkalian, dan  memiliki elemen kesatuan, yaitu 1.

Contoh 2

B/m = {[0], [1], [2], [3], …, [m]}, yaitu himpunan semua kelas bilangan bulat modulo m. B/m dengan penjumlahan dan perkalian modulo m adalah  suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan [1].

Contoh 3

B adalah himpunan semua bilangan bulat. Operasi-operasi ◦ dan * pada elemen-elemen B berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :

a, b Bab = a + b + 1 dan a * b = a + ab + b.

Tunjukkan bahwa (B, ◦, *) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan 0.

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan

  1. ( B, ◦) suatu grup abelian
  2. ( B, * ) suatu semigrup
  3. Sifat distributif  operasi * terhadap operasi ◦
  4. Sifat komutatif terhadap operasi *
  5. Mempunyai elemen kesatuan 0

Pembuktian

  1. a.  Ambil a, b B,  maka ab = a + b + 1 juga anggota B. Jadi operasi ◦ bersifat tertutup di dalam B
  1. Ambil a, b, c B, maka (ab) ◦ c   = (a + b + 1) ◦ c

= (a + b + 1) + c + 1

= a + (b + c + 1) + 1

= a ◦ (b + c + 1)

= a ◦ (bc)

Jadi operasi ◦ bersifat asosiatif di dalam B

  1. Andai z adalah elemen identitas, maka “a Î B, berlaku az = za = a

a ◦ z = a + z + 1 = a

z + 1 = 0

z = -1

Dan -1 ◦ a = -1 + a + 1 = a

Jadi terdapat elemen identitas yaitu -1

  1. Misalkan a ÎB dan invers dari a adalah t, maka a  t = t  a = -1

a  t = -1

a + t + 1 = -1

t = -2 – a

Dan (-2 – a)  a = -2 – a + a + 1 = -1.

Jadi invers a adalah (-2 – a).

  1. Ambil a, b B,  maka ab = a + b + 1

= b + a + 1

= ba

Jadi operasi ◦ bersifat komutatif di dalam B

Dari a, b, c, d, dan e, terbukti ( B, ◦) suatu grup abelian

  1. a.   Ambil a, b B,  maka a * b = a + ab + b juga anggota B. Jadi operasi * bersifat tertutup di dalam B
  1. Ambil a, b, c B, maka (a * b) * c   = (a + ab + b) * c

= (a + ab + b) + (a + ab + b)c + c

= a + ab + b + ac + abc + bc + c

= a + (ab + abc + c) + (b + bc + c)

= a + a(b + bc + c) + (b + bc + c)

= a * (b + bc + c)

= a * (b * c)

Jadi operasi * bersifat asosiatif di dalam B

Dari a dan b, terbukti ( B, * ) suatu semigrup

  1. Ambil a, b, c B, maka
    1. (ab) * c        = (a + b + 1) * c

= (a + b + 1) + (a + b + 1)c + c

= a + b + 2c + 1 + ac + bc

= (a + ac + c) + (b + bc + c) + 1

= (a * c) + (b * c) + 1

= (a * c) ◦ (b * c)

Berlaku distributif kiri

b.   a * (bc)        = a * (b + c + 1)

= a + a(b + c + 1) + (b + c + 1)

= a + ab + ac + a + b + c + 1

= (a + ab + b) + (a + ac + c) + 1

= (a + ab + b) ◦ (a + ac + c)

= (a * b) ◦ (a * c)

Berlaku distributif kanan

  1. Ambil a, b B,  maka a * b = a + ab + b = b + ba + a = b * a.

Jadi operasi * bersifat komutatif di dalam B

  1. Andai u adalah elemen kesatuan, maka “a Î B, berlaku a * u = u * a = a

a * u = a + au + u = a

au + u = 0

u(a + 1) = 0

u = 0

Dan 0 * a = 0 + 0.a + a = a

Jadi terdapat elemen kesatuan yaitu 0

Misalkan R suatu gelanggang, a R dan a z, a disebut elemen pembagi nol kiri dari R, apabila   b R dengan b z, sedemikian hingga   ab = z. Jika berlaku ba = z, maka a disebut elemen pembagi nol kanan dari R. Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus merupakan elemen pembagi nol kanan disebut elemen pembagi nol. Gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan dan tidak mempunyai elemen pembagi nol disebut daerah integral ( integral domain ).

Contoh 4

B/6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} adalah himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 6. B/6 dengan penjumlahan dan perkalian modulo 6 adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan [1]. Perhatikan bahwa [2] 6 [3] = [0] dan [3] 6 [4] = [0]. Elemen-elemen [2],  [3] dan [4] disebut elemen-elemen pembagi nol dari B/6, sehingga B/6 adalah gelanggang dengan pembagi nol.

Contoh 5

(B, +, ´), (Q, +, ´), (R, +, ´), dan (K, +, ´) adalah contoh-contoh gelanggang tanpa pembagi nol (daerah integral).

Misalkan R adalah suatu gelanggang, jika a  R sedemikian hingga a2 = a, maka  a disebut elemen idempoten. Jika b  R, dan ada suatu bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga bn = z, maka b disebut elemen nilpoten berindeks n.

Contoh 6

B/8 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]} dengan penjumlahan dan perkalian modulo 8 merupakan gelanggang. Perhatikan bahwa [2]3 = [0], [6]3 = [0], elemen-elemen seperti ini dinamakan elemen nilpoten berindeks 3. Perhatikan pula bahwa [1]2 = [1], elemen seperti ini dinamakan elemen idempoten.

Contoh 7

M =  dengan penjumlahan dan perkalian matriks adalah suatu gelanggang.

= = , maka  adalah suatu elemen idempoten dalam M.

=  = , maka  adalah suatu elemen idempoten dalam M.

= = , maka adalah suatu elemen nilpoten dalam M.

Karakteristik suatu gelanggang R adalah bilangan bulat positif terkecil n (jika ada), sedemikian sehingga na = z untuk setiap a dalam R. Apabila bilangan bulat positif tersebut tidak ada, maka dikatakan karakteristik dari gelanggang R adalah nol atau tak berhingga.

Contoh 8

(B, +, ´), (Q, +, ´), (R, +, ´), dan (K, +, ´) adalah contoh-contoh gelanggang yang mempunyai karakteristik tak berhingga atau nol.

Contoh 9

B/7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 7 adalah suatu gelanggang yang mempunyai karakteristik 7, sebab 7 x7 [a] = [0],        [a] B/7 dan tidak ada bilangan bulat positif n yang kurang dari 7 sedemikian sehingga   n x7 [a] = 0, [aB/7.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: