STATISTIKA

GAMBAR-STATISTIKA-MAtematika

  1. Menghitung Ukuran Pemusatan dan Ukuran Letak,

Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu rangkaian data adalah suatu nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data.

  1. Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median, dan modus.

1)      Rataan Hitung (Mean )

Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang x .

a)      Mean data tunggal

Rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.

Mean =

      Keterangan: Sx = jumlah data

        n = banyaknya data

       xi = data ke-i

Contoh soal:

4

Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 4, 5, 7, 4, dan 5. Tentukan rataan dari data tersebut.

Penyelesaian:

=  = 5

Jadi rataannya adalah 5.

b)      Mean dari data distribusi frekuensi

Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka mean dirumuskan sebagai berikut:

=

Keterangan: fi = frekuensi untuk nilai xi

              xi = data ke-i

Contoh soal:

Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XII IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6,tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-ratanilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.

Penyelesaian:

Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.

Nilai ()

Frekuensi ()

 .

4

5

20

5

7

35

6

15

90

7

7

49

8

6

48

=

Jadi, mean nilai ulangan harian Matematika dikelas XI IPA adalah 6,05.

c)      Mean data bergolong

Rata-rata untuk data bergolong pada hakikatnya sama dengan menghitung rata-rata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai xi.

Contoh:

Tentukan mean dari data berikut:

Nilai ulangan Matematika

Frekuensi

40 – 44

1

45 – 49

5

50 – 54

11

55 – 59

0

60 – 64

3

Jawab:

Nilai MTK

Titik tengah ()

()

 .

40 – 44

42

1

42

45 – 49

47

6

282

50 – 54

52

10

520

55 – 59

57

2

114

60 – 64

62

1

62

=

Jadi, mean nilai ulangan Matematika adalah 51.

2).  Median

Median dari n pengukuran x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengukuran  yang terletak di tengah  data setelah data tersebut diurutkan.

Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

  • Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
  • Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data

Ada dua jenis median yaitu :

a)      Median data tunggal

Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ,

→ untuk data ganjil

→ untuk data genap

n = banyaknya data pengamatan

Median apabila n ganjil:

Contoh :

Hitunglah median dari nilai ujian matematika berikut ini: 8; 4;

5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10

banyaknya data (n) = 11

posisi Me = (11+1) = 6

jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Nilai ujian 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 10
Urutan data 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Median apabila n genap:

Contoh :

Hitunglah median dari nilai ujian matematika berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

banyaknya data (n) = 10

posisi Me = (10+1) = 5.5

Data tengahnya: 6 dan 7

jadi Median = (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)

Nilai Ujian 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
Urutan Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 

b)      Median data kelompok

Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

Tb = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung  unsur  atau memuat nilai median

n    = ukuran sampel/banyak data

fk   = frekuensi kelas sebelum kelas yang dicari

f me           = frekuensi kelas median

F    = frekuensi sebelum kelas median

Contoh : data nilai ulangan 2 kelas yaitu : 34, 36, 45, 44, 47, 53, 55, 54, 56, 58, 61, 62, 65, 63, 65, 65, 63,  67, 68, 67, 70, 68,70, 72, 72, 71, 73, 73, 75, 74, 76, 75, 78, 77, 76, 79, 80, 75, 73, 73, 74, 75, 76, 72, 71, 80,80, 81, 82, 85, 84, 86, 89, 87, 85, 87, 86, 83, 82, 84, 83, 82, 81, 89, 86, 87,93, 92, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 96, 94, 93, 100.

Kelas ke-

Data

fi

fkum

1

31-40

2

2

2

41-50

3

5

3

51-60

5

10

4

61-70

13

23

5

71-80

24

47

6

81-90

21

68

7

91-100

12

80

8

Jumlah

80

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)

b = 70.5, p = 10

n = 80, f = 24

f = 24 (frekuensi kelas median)

F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

3)      Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi teertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

a)   Modus data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh soal berikut ini :

Tentukan modus dari data di bawah ini.

i.            1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 5, 5, 6, 7, 8

ii.

Nilai

Frekuensi

1

2

4

8

4

3

6

9

Penyelesaian :

i.            1, 1, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10.

Data yang sering muncul adalah 5. Jadi modusnya adalah 5.

ii.            Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 8. Jadi modusnya adalah 8.

b)      Modus data bergolong

Modus data bergolong dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan :  = tepi bawah kelas median

l  = lebar kelas

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Perhatikan contoh berikut ini :

i.      Tentukan modus dari table di bawah ini :

Nilai

Frekeunsi

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

4

5

8

7

3

Penyelesaian :

Frekeunsi modusnya 8, kelas modusnya 70 – 74, dan tepi bawah frekeunsi modus(b) = 69,5

= 8 – 5 = 3

= 8 – 7 = 1

  l = 74,5 – 69,5 = 5

Jadi modusnya adalah :

  1. Ukuran Letak

Selain ukuran memusat, ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak meliputi : Kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

1)      Kuartil (Q)

Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan :      Xmin  = Data terkecil

Xmax  = Data terbesar

Q1    = kuartil ke-1

Q2    = kuartil ke-2

Q3    = kuartil ke-3

a)      Kuartil data tunggal

Letak dari Qidirumuskan sebagai berikut :

Letak Qi

Keterangan  Q1 = kuartil ke i

n   = banyak data

contoh soal

Tentukan Q1, Q2 dan Q3 daridata : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.

Penyelesaian

Dari data telah diurutkan : 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

Letak Q1adalah = , sehingga :

Q1 = X3 +  (X4X3)

= 4 +  (44) = 4

Letak Q2 adalah = , sehingga :

Q2  = X7 +  (X7X6)

= 7 +  (77) = 7

Letak Q3adalah = , sehingga :

Q3 = X11 +  (X11X10)

= 8 +  (88) = 8

b)      Kuartil data bergolong

Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut :

Qi = bi + l

Keterangan :

Qi = kuartil ke- i (1, 2 atau 3)

bi= tepi bawah kelas kuartil ke – i

N = banyaknya data

F = frekuensi komulatif kelas sebelum kelas kuartil

l = lebar kelas

f = frekuensi kelas kuartil

contoh :

Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2(median), dan Q3(kuartil atas) dari data tes matematika terhadap 40 siswa kelas XI AK berikut ini.

Nilai

Frekuensi

40 – 49

4

50 – 59

5

60 – 69

14

70 – 79

10

80 – 89

4

90 – 99

3

Penyelesaian :

Nilai

Frekuensi

FKomulatif

40 – 49

4

4

50 – 59

5

9

60 – 69

14

23

70 – 79

10

33

80 – 89

4

37

90 – 99

3

                40

Letak Q1pada frekuensi =

Q1 = b1 + l= 59,5 + 10  = 59,5 + 10

= 59,5 +  = 59,5 + 0,07 = 59,57

Letak Q2pada frekuensi =

Q2 = b2 + l= 59,5 + 10  = 59,5 + 10

= 59,5 + 7,86 = 67,36

Letak Q3pada frekuensi =

Q3 = b3 + l= 69,5 + 10  = 69,5 + 10

= 69,5 + 7 = 76,5

2)      Desil

Desil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing sebesar 1/10 N. jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana kesembilan buah titik desil itu membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10 bagian yang sama besar.

Lambang dari desil adalah D. 9 buah titik desil dimaksud diatas adalah titik-titik: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.

a)      Data Tunggal

Untuk mencari desil data tunggal, digunakan rumus sebagai berikut:

Dimana :    i           = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

= Desil ke- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n      = Jumlah data

Contoh :

Berikut ini data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu:

30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100

Tentukan nilai D1, D2, dan D9

Penyelesaian :

b)      Data Kelompok

Untuk mencari desil data kelompok, digunakan rumus sebagai berikut :

Dimana :            =          desil ke-i (i = 1, 2, …, 9)

=          tepi bawah kelas desil

c    =          panjang kelas interval kelas desil

n    =          banyaknya data pengamatan

F    =          jumlah frekuensi sebelum kelas desil

f     =          frekuensi kelas desil

Contoh :

Diketahui besarnya tekanan darah dari 50 mahasiswa suatu universitas yang disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut. Tentukan besarnya D2 dan D9 dari data di bawah ini.

Kelas

Frekuensi (fi)

Frekuensi komulatif

(Xi)

93 – 97

2

2

98 – 102

10

12

103 – 107

12

24

108 – 112

10

34

113 – 117

7

41

118 – 122

4

45

123 – 127

3

48

128 – 132

1

49

133 – 137

0

49

138 – 142

1

50

Penyelesaian:

L0=      98 – 0,5 = 97,5

c  =      98 – 93 = 5

n  =      50

F  =      2

f   =     10

L0 =     118 – 0,5 = 117,5

c   =     98 – 93 = 5

n   =     50

F   =     2+10+12+10+7  = 41

f   =     4

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: